数学柏拉图主义和其对立面
2020-11-20 08:08:14
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来源:哲学园

原文作者:Barry Mazur

翻译:Mathreamisser

苍穹在上,繁星密布。我们时常躺着仰望,谈论漫天的星辰:是有谁将它们安放,还是它们自在那里呢——吉姆,他觉得一定是有谁将它们安置在那里的,而我则认为它们本就如此。我有我的理由——摆上那么多星星实在是太费事了。

这是哈克贝利·费恩(Huckleberry Finn)译注1的一段漫无边际的思绪。但是数学家在和非数学家们谈论他的职业时,却总会在不经意间碰到一个类似的问题:

数学是发现还是发明?

算上句末的问号,短短十个字,远比哈克和吉姆的叙述直白。它可以用来打开话题,但更像是数学谜一般状态的一个象征。我将其称之为“这个问题(The Problem)”。

我相信,有一点是毋庸置疑的:如果从事数学足够久,那么你一定会撞上这个问题,并且它不会轻易放过你1。如果我们愿意向那些使得思考数学变得如此美妙的热情体验致以敬意,那么我们就应该对它加以关注。

某些知识学科有着类似的困扰,甚至于被刻上了深深的烙印。比如人类学中就有大量的、沉郁反省的文献来讨论是否可能避免——无论是有意地或无意地——将我们自身的文化模式强加到我们所认为的研究对象上:在多大程度上我们是有所发现,又在多大程度上我们只是在进行发明呢?

这样的发现/发明困惑在其他的智力活动中也许没有那么引人注目,但对数学而言却极其耀眼,且带着一丝怪异,盖因其在数学中的突现和其他领域不尽相同。比如,当你说——就像托马斯·库恩(Thomas Kuhn)译注2曾经说过——“普利斯特里(Priestley)发现了氧气而拉瓦锡(Lavoisier)发明了氧”时,我想我大略知道你所表达的意思,哪怕我们的“个人词汇库”并不完全同步。但是想要从智力上理解每个人对圆形、三角形或数字所抱有的可能的不同态度,我们可能还不得不去理解——尽量粗略地说——我们每个人对于更多数学以外的东西是如何看待和讨论的2。

就我自身而言,对这些问题讨论的立足点是我自己做数学和探寻数学灵感的经验。每当读到貌似和这个问题有关的文献时,我会问自己它是否以某种方式联系到了我自身的经验感受,或者更进一步的,是否在某种程度上印证了它们。但是答案常常是——或者说总是——令人失望的。数学经验的奇特之处——也正是它为这个问题带来了充沛的能量——在于,人们觉得(我觉得)捕捉数学灵感的方法本质上是和,比如说,这一刻我寻找灵感来完成这个句子的方法,是不同的。我们可以成为数学概念的“猎人”或“采集者”,却说不清我们的“猎场”在哪里。当然这种感觉可能只是迷惑了我们人类的诸多幻象中的一个,也许本就不存在什么“猎场”。

可能算不上是严格的答案,但是通常有两种方式,通过对“猎场”位置的不同描述,分别或多或少地回答了这个问题。这两个位置可以被口语化地称为:在内(In Here)和在外(Out There)(在我看来它们已经涵盖了所有的情形)。

这两种看法的前者,即所谓的在内——有时被称为康德主义(Kantian)(可怜的康德(Kant)!)——将数学的来源规矩地局限于我们的理解能力(faculties of understanding)。当然,十八世纪单词“能力(Faculties/Vermögen)”和“理解(Understanding/Verstand)”的含义过于丰富,至少在这里的讨论中,最好还是尽可能地将我们自己从这个包袱中解脱出来。如果这一阵营非要在发现和发明这两个如此明确的单词中做出选择的话,答案无疑会是发明。

关于发现/发明问题的“在外”立场,其标志性的符号正是柏拉图(Plato)(可怜的柏拉图!)。该立场鲜明地宣称,数学是我们对永恒之宇宙建筑的阐释。所以,数学本质的任务是准确地描绘和展示这个建筑。这个思路理所当然地会选择发现,而非发明。

这种态度产生了一种有意思的效应:它使得数学生活的主食——严格的证明,变得不再那么迫切了。一些数学家认为数学证明表达了我们用来建筑数学大厦的基本构件的本质,并且还是它们确实性的唯一凭证。没有证明就没有基础,也就没有数学的大厦。有些数学家认为环环相扣的推理生成了我们所工作的理论。但对忠实的柏拉图主义者来说却并非完全如此,至少是和非柏拉图主义者对此的理解有所不同。数学家们常常诧异——乃至扼腕于——物理学文献中证明的松弛。但是我相信这种扼腕乃是基于一种概念上的误解,即错误地理解了物理学中证明的基本作用。证明(正如其应扮演的,在物理学中)主要扮演的是一个修辞学中的角色:即令他人,或许也使得你自己,确信,你的描述是站得住脚的,你的模型是忠实的再现。在我看来,在一个坚定的柏拉图主义者手中,证明很有可能主要起到的就是这种修辞学的作用——确保叙述在正确的方向上——而不是(或至少不必然是)通常认为的完成严格理论构建的作用。

当读到柏拉图主义者对他们数学观的阐述时,我的感觉是,如果这个关于证明本质的问题这其中没有得到解答并被仔细地审视,那么我读到的便只是对这一哲学立场的肤浅解读,我也就失去了读下去的兴趣。

但是柏拉图主义者想要说服非信徒的首要任务是从先知和抒情诗人那里学会如何表达超越语言可描述的经验。如果你只是不断如咏叹调般地老生常谈“数学形式是在外的”——正如某些自命不凡的关于数学柏拉图主义的文章所做的那样——是没什么说服力的。

对反柏拉图主义者

这里有几处需要加以小心。有一个常被用来试图从根本上动摇柏拉图主义学说的做法是在讨论中引入论点:数学是一项人类的,文化相关的活动,并认为这是切中要害的。但是请试想一下:如果请一位纳瓦霍人、一位爱尔兰人和一位琐罗亚斯德教徒分别写下对大峡谷(Grand Canyon)的描述,那么我们可以打赌他们的描写会和各自的文化有关,甚至有赖于这些描述者的情绪、教育背景和使用的语言。但是我提到的所有这些关于描述者的差异并不会动摇我们对大峡谷存在性的信心,这是他们共同关注的。同样的,一个人可以是世上最有民族-数学意识的数学家,可以声称我们的数学叙述如春雨般只是暂时的气候现象,但他还是可以同时是最虔诚的数学柏拉图主义者。

现在,我已经无视这个论点了。每当在一篇号称要消除或批判数学柏拉图主义的论文中读到这一类数学是一项人类活动的主张时,我都会自忖:人类活动!难道还能不是吗?我会把文章的这一部分看作是和这个问题无关的。

另一个看来引起了一些反柏拉图主义者注意的论点是最近在神经生理学方面的工作——一项关于大脑特定部位血液流动情况的研究——这似乎能提供一些内幕看法6。好吧,谁知道呢?神经解剖学和化学在某些讨论中很有帮助,但在另一些中并没有。想要说明这个论点是有效的,我们需要精确地论证解释,究竟血液流动的规律是如何反对或支持柏拉图主义——或者其他任何倾向的。一个这类的论证能够令人满意几乎就是个奇迹。但是仅仅像打牌一样将血液流动这个词甩在桌面上,并不会起到什么真正的作用。

有些数学反柏拉图主义者相信,通过证明柏拉图主义没有理性的根据可以取得反对的进展,即是说将(柏拉图主义的观点)用命题词汇陈述时会导致前后的不一致。

将几个命题随意组合在一起很容易。但是要用命题公式完备而忠实地表达一位有血有肉的数学家的柏拉图主义倾向是无比困难的。当然,试一试也无妨——说不定这还是一项很好的练习呢。然而即使我们聪明地找到了一个能够形式化地表达柏拉图主义的命题,仅仅是这个命题无法被证明,这一事实未必足以将其消灭。很多事情——有真有假——并不能通过理性的方式来证明。比方说,假如你要求我证明——以理性的方式——昨夜我梦见了威基基海滩译注3,我就无法办到。

那么攻击何时方能奏效?就是当批评者将一切铺平时。这样的文章往往写得极好,无比流畅,作者使得所有的讨论都变得波澜不惊,直到我——读者——确信——虽然只是在作者文章的框架下,短暂地——根本没有什么“大不了的事情”:数学就和所有其他的文化建设一样,任何观点中都难免有潜藏的谬误。这样聪明的把戏慢慢消解了柏拉图主义的立场。这个问题也就不成为问题了。

但是未经爱情的人如何能够确实说服热恋中的人爱神本不存在呢?所以这种情绪也不会占据我太久。幸运的,我很快摆脱了它,并且再次记起了数学概念不同寻常的独立性——甚或是自主权,记起了研究数学的超脱、独特——和激情。于是我明白了,无论我最终对这个问题采取何种态度(柏拉图或反柏拉图),我的选择必须充分尊重和重视这一切。

注释

1. 著名的电台主持人加里森·凯勒尔(GarrisonKeillor)在节目中有一个虚构的角色盖·诺瓦(Guy Noir),他不知疲倦的纠结于“生命中永久的问题”。这很好。我们应该对这一类永久的问题致以特殊的敬意,哪怕——或恰恰是因为——它们是我们永远无法解开的谜题。

2. 首先:我们仅仅在一闪念间就能将形容词变成名词(红色的—>红色,五个的—>五)。这一闪念是什么?理解此处我们知觉中所发生的变化能揭示很多我们对一些必须要借助数学词汇来讨论的事物的不同理解。

3. 一个更一般的潜在的问题是,我们究竟该如何看待康德唯心主义范式中的各种幽灵——比如,那个被一笔带过的,以各种名称——共通感(sensus communis)或者普遍声音(allgemeine Stimme)——幽灵般地出没于普遍主观判断(universally subjective judgments)这个优雅的概念中的玩家究竟是谁?

4. 一份非常有用的——并且在我看来很好的——文献恰好集成了这方面的工作。马克·巴拉格尔(Mark Balaguer),《数学中的柏拉图主义和反柏拉图主义(Platonism andAnti-Platonism in Mathematics)》牛津大学出版社(1998)。

5. 在工作中,我有时候会有正凝视着数学结构或对象纯柏拉图式的美的感觉——也许是幻觉,而其它时候我是个快乐的康德主义者,会因直觉给出了亚里士多德主义者所谓的对象的形式条件,而惊叹于直觉的创造力。有时候我似乎骑墙于两个阵营之间(对我来说这并不矛盾)。我感到,这样充实的经验、这些炫目的想象、这种直觉的跳跃、那些从思想国度的实在风景中所“看到”的令人窒息的结果,以及所有这一切所带来的激情,才是数学对于我来说无比重要的原因。当然,这样的国度可能只是幻象,那么我的经验呢?

6. 就像伍迪·艾伦的电影《性爱宝典》。

译注

1. 哈克贝利·费恩(Huckleberry Finn),马克·吐温的长篇小说《哈克贝利·费恩历险记》中的人物。

2. 托马斯·库恩(Thomas Kuhn),美国科学史家、科学哲学家。

3. 威基基海滩(Waikiki Beach),夏威夷旅游胜地。

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